Точки A, C, M и P лежат в плоскости α, а точка… (геометрия)

№ (вариант )Точка пересечения прямой с плоскостью

Точки $A$ , $C$ , $M$ и $P$ лежат в плоскости $α$ , а точка $B \in / α$ (рис. 66). Постройте точку пересечения прямой $M P$ с плоскостью $A B C$ . Поясните.

Решение

Плоскости и различны (так как ) и имеют две общие точки и . Значит, они пересекаются по прямой .
Прямая лежит в плоскости , как и прямая . Если они не параллельны, то пересекаются.

Построение:

Проводим прямую .
Проводим прямую .
Отмечаем .

Поясняем: , а , поэтому . Также . Значит, — общая точка прямой и плоскости .

Ответ

Искомая точка — , где — линия пересечения плоскостей и .

№ (вариант )Параллельность прямых и плоскости

Треугольники $A B C$ и $A D C$ лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону $A C$ . Точка $E$ лежит на стороне $A B$ , а точка $F$ — на стороне $B C$ , причём $E F$ параллельна плоскости $A D C$ , точка $P$ — середина $A D$ , а точка $K$ — середина $D C$ .

Докажите, что $E F ∥ P K$ .
Каково взаимное расположение прямых $P K$ и $A B$ ? Чему равен угол между этими прямыми, если $∠ A B C = 4 0^{\circ}$ и $∠ B C A = 8 0^{\circ}$ ?

Решение

Прямая лежит в плоскости и параллельна плоскости . Плоскость пересекает плоскость по прямой , поэтому .

— средняя линия треугольника , значит .

Две прямые, параллельные третьей, параллельны: .

, а пересекает в точке . Прямая лежит в плоскости и не пересекает : общая точка плоскости и прямой — только , а . Поэтому и скрещивающиеся.

Угол между скрещивающимися прямыми и равен углу между и , то есть :

💡 Почему так

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Угол между скрещивающимися прямыми находят параллельным переносом одной из них.

Ответ

, значит .
и скрещивающиеся; угол между ними равен .

№ (вариант )Прямая и плоскость, пересекающиеся плоскости

Плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $m$ . Прямая $a$ лежит в плоскости $α$ . Каково возможное взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $β$ ? Сделайте рисунок и поясните.

Решение

Прямая лежит в , а плоскости и пересекаются по . Прямая и прямая лежат в одной плоскости , поэтому возможны три случая:

совпадает с . Тогда .
. Тогда , потому что не имеет общих точек с (общие точки плоскостей лежат только на ).
пересекает в точке . Тогда пересекает в единственной точке .

Ответ

Прямая либо лежит в плоскости (если совпадает с ), либо параллельна (если ), либо пересекает в точке на прямой .

№ * (вариант )Линия пересечения плоскости сечения с гранью куба

Используя рисунок 67, постройте линию пересечения плоскости $E F M$ с плоскостью $α$ . Поясните.

Решение

Точки и лежат на рёбрах и , то есть в плоскости . Плоскость пересекает плоскость (плоскость ) по прямой .
Прямая и прямая лежат в одной плоскости . Продолжаем до пересечения с и получаем точку .
и , поэтому — общая точка плоскостей и .
лежит в и в плоскости — вторая общая точка.
Проводим прямую .

💡 Почему так

Две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Поэтому достаточно найти две общие точки плоскостей и .

Ответ

Искомая линия пересечения — прямая , где .

№ (вариант )Линии пересечения плоскости ABC с плоскостями α и β

Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $α$ , а точка $C$ — в плоскости $β$ (рис. 68). Постройте линии пересечения плоскости $A B C$ с плоскостями $α$ и $β$ . Поясните.

Решение

Точки и лежат и в , и в плоскости . Значит, плоскость пересекает по прямой .
Прямая лежит в и пересекает прямую (линию пересечения и ) в точке .
и , поэтому — общая точка плоскостей и .
Точка тоже лежит в и в . Значит, плоскость пересекает по прямой .

Ответ

С плоскостью плоскость пересекается по прямой ; с плоскостью — по прямой , где .

Помогло?