Треугольник APD и трапеция ABCD имеют общую сторону AD и лежат в разных плоскостях. Через основание BC трапеции и середину отрезка PD — точку K проведена плоскость, которая пересекает прямую AP в точке M, AD = 2BC. Докажите, что отрезки MC и BK пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.
Основания трапеции — AD и BC, так как AD =
-
Прямая
параллельна прямой , лежащей в плоскости , а сама в этой плоскости не лежит. Поэтому . -
Плоскость
проходит через и пересекает плоскость по прямой . Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит, , а так как , то . -
В треугольнике
прямая и проходит через середину стороны . По теореме Фалеса — середина , и — средняя линия треугольника:
-
Итак,
и . Отрезки и сонаправлены (оба сонаправлены с ). Значит, четырёхугольник — параллелограмм (две противоположные стороны равны и параллельны). Он лежит в плоскости . -
и — диагонали параллелограмма . Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки и пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.
Прямая, параллельная плоскости, параллельна линии пересечения этой плоскости с любой плоскостью, проходящей через эту прямую. Параллелограмм получается из равенства и параллельности отрезков BC и MK.
Доказано:
