Прямая a параллельна плоскости α, а прямая b… (геометрия)

№ Прямая, параллельная плоскости, и прямая в плоскости

⚠️

Не решены задания , и : условия в сообщении искажены. В задании не читается длина DA₁ и обозначения точек, в задании не совпадают данные (из BM:MA=: следует BC:BK=:, а не :), в задании не разобрать обозначения и отношение. Перепишите эти условия текстом полностью или пришлите фото задания ближе и крупнее.

Прямая a параллельна плоскости α, а прямая b лежит в плоскости α. Определите, могут ли прямые a и b: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) быть скрещивающимися. Ответ объясните.

Решение

а) Могут. Через прямую a и точку прямой b проведём плоскость β. Она пересекает α по прямой c, и c a, так как a не имеет общих точек с α. Если прямая b совпадает с c, то a b.

б) Не могут. Если бы a и b имели общую точку, то эта точка лежала бы в α, потому что b лежит в α. Тогда у a была бы общая точка с α, а это противоречит условию a α.

в) Могут. Если b не параллельна a, то прямые не пересекаются (пункт б). Они не лежат в одной плоскости, потому что иначе были бы параллельны. Значит, они скрещиваются.

💡 Почему так

Прямая, параллельная плоскости, не имеет с ней общих точек, поэтому не может пересечь ни одну прямую этой плоскости.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) да; б) нет; в) да.

№ Трапеция и треугольник в разных плоскостях

Трапеция ABCD (AD и BC основания) и треугольник AED имеют общую сторону и лежат в разных плоскостях. Точка M лежит на стороне AE, а P на стороне DE, причём MP параллельна плоскости трапеции.

Докажите, что MP $∥$ BC.
Каково взаимное положение прямых MP и AB? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠ABC = 110°? Поясните.

Решение

Прямая MP параллельна плоскости ABCD и лежит в плоскости AED. Плоскость AED пересекает плоскость ABCD по прямой AD. Значит, MP AD. Так как AD BC (основания трапеции), то MP BC.
Прямая AB лежит в плоскости трапеции и пересекает плоскость AED в точке A. Прямая MP лежит в плоскости AED и не проходит через A. Значит, MP и AB скрещиваются.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными им. Так как MP AD, искомый угол равен ∠BAD.

Поскольку BC AD, углы ABC и BAD односторонние при секущей AB:

💡 Почему так

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой.

Ответ

✓ dzmen.ru

MP BC доказано.
Прямые MP и AB скрещиваются, угол между ними °.

№ Середины сторон пространственного четырёхугольника

Дан пространственный четырёхугольник ABCD, вершины которого не лежат в одной плоскости. Докажите, что середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Выполните рисунок к задаче.

Решение

Пусть M, N, K, L — середины сторон AB, BC, CD, DA.

В треугольнике ABC отрезок MN является средней линией, поэтому

В треугольнике ADC отрезок LK является средней линией, поэтому

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, значит MN LK. Кроме того, MN = LK. Параллельные прямые MN и LK лежат в одной плоскости, и в этой плоскости MNKL — четырёхугольник с двумя противоположными сторонами, равными и параллельными. Следовательно, MNKL — параллелограмм.

💡 Почему так

Признак параллелограмма: если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то он параллелограмм.

Ответ

✓ dzmen.ru

MN LK и MN = LK = AC/, поэтому MNKL — параллелограмм.

Помогло?

Прямая a параллельна плоскости α, а прямая b лежит в плоскости α.…