Постройте точку пересечения прямой AB с… (геометрия)

№ Точка пересечения прямой с плоскостью

Постройте точку пересечения прямой $A B$ с плоскостью $M N K$ . (На рисунке тетраэдр $D M N K$ ; точка $A$ лежит на ребре $D M$ , точка $B$ лежит на ребре $D N$ .)

Решение

Точки и лежат в плоскости грани (, ), значит, вся прямая лежит в плоскости .
Плоскости и различны и имеют общие точки и , поэтому пересекаются по прямой .
Прямая и прямая лежат в одной плоскости и не параллельны, поэтому пересекаются. Продолжаем и до пересечения и получаем точку .
, а , значит . Одновременно .

Построение: провести прямую , продолжить ребро за точку , отметить .

💡 Почему так

Если прямая лежит в плоскости, пересекающей данную плоскость по некоторой прямой, то точку пересечения нужно искать на этой линии пересечения плоскостей.

Ответ

✓ dzmen.ru

Искомая точка — , лежащая на продолжении ребра за точку .

№ Сечение тетраэдра плоскостью

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C$ ; $C \in (M N D)$ . (Точка $A$ лежит на ребре $M N$ , точка $B$ лежит на ребре $M K$ , точка $C$ лежит внутри грани $M N D$ .)

Решение

Точки и лежат в плоскости основания . Проводим отрезок — это след секущей плоскости на основании.
Точки и лежат в плоскости грани . Проводим прямую до пересечения с ребром и получаем точку . Отрезок — сторона сечения в грани .
Точки и лежат в плоскости грани . Соединяем их и получаем сторону .
Стороны , , образуют треугольник .

💡 Почему так

Сторона сечения получается как отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань. Для построения нужны две точки сечения, лежащие в одной грани.

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение — треугольник , где — точка пересечения прямой с ребром .

№ Сечение тетраэдра плоскостью

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C$ . (Точка $A$ лежит на ребре $D K$ , точка $B$ лежит на ребре $N K$ , точка $C$ лежит на ребре $D M$ .)

Решение

Точки и лежат в плоскости грани . Проводим прямую и продолжаем её до пересечения с прямой : .
Точки и лежат в плоскости основания (, ). Проводим прямую до пересечения с ребром : .
Точки и лежат в плоскости грани . Соединяем их.
Точки и лежат в плоскости грани . Соединяем их.
Получаем четырёхугольник со сторонами (грань ), (грань ), (основание), (грань ).

💡 Почему так

Если две точки сечения не лежат в одной грани, находят вспомогательную точку на пересечении прямой сечения с прямой основания и с её помощью получают след секущей плоскости на основании.

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение — четырёхугольник , где , .

Помогло?

Постройте точку пересечения прямой AB с плоскостью MNK. (На рисунке тетраэдр…