Постройте точки пересечения прямой MN с… (геометрия)

№ Точки пересечения прямой с плоскостями граней куба

Постройте точки пересечения прямой $M N$ с плоскостями $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Решение

По рисунку лежит на ребре , лежит на ребре .

Точки и лежат в плоскости грани , поэтому вся прямая лежит в этой плоскости.
Плоскость пересекается с плоскостью по прямой . Продолжаем и до пересечения (за точку ) и получаем точку . Эта точка лежит в плоскости , значит, это и есть точка пересечения с плоскостью .
Плоскость пересекается с плоскостью по прямой . Продолжаем и до пересечения (за точку ) и получаем точку . Эта точка лежит в плоскости , значит, это и есть точка пересечения с плоскостью .

💡 Почему так

Если две плоскости пересекаются, то их общие точки образуют прямую. Прямая, лежащая в одной из них, пересекает вторую плоскость в точке, лежащей на линии пересечения плоскостей.

Ответ

✓ dzmen.ru

— точка пересечения с плоскостью ; — точка пересечения с плоскостью .

№ Построение сечений куба

Постройте сечения, проходящие через указанные точки.
а) куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , точки $A$ , $C$ и $M$ (точка $M$ лежит на ребре $C_{1} D_{1}$ ).
б) куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , точки $P$ , $M$ и $N$ ( $P$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , $M$ — на ребре $A D$ , $N$ — на ребре $C D$ ).

Решение

а) Сечение проходит через , и .

Точки и лежат в плоскости основания , проводим отрезок .
Плоскости оснований параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает верхнее основание по прямой, параллельной , то есть параллельной . Проводим через прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем с (грань ) и с (грань ).

Сечение — трапеция с основаниями .

б) Сечение проходит через , и .

Точки и лежат в плоскости , проводим отрезок . Это след сечения на нижнем основании. Прямая пересекает продолжение в точке и продолжение в точке .
и лежат в плоскости . Прямая пересекает ребро в точке . Соединяем с (грань ).
Верхнее основание параллельно нижнему, поэтому через проводим прямую, параллельную (то есть ). Она пересекает ребро в точке . Отрезок — след на верхнем основании.
и лежат в плоскости . Прямая пересекает ребро в точке . Соединяем с (грань ).

Сечение — шестиугольник . Невидимые стороны , , показаны пунктиром.

💡 Почему так

Плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Точки сечения на рёбрах находят, продолжая след сечения до пересечения с прямыми, лежащими в одной грани.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) сечение — трапеция , где и .
б) сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и A₁B₁C₁.