Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABB₁ и A₁B₁C₁. (M лежит на ребре AD, N лежит на ребре DD₁.)
Точки M и N лежат в плоскости грани AA₁D₁D, поэтому прямая MN лежит в этой плоскости.
-
Плоскость ABB₁ пересекает плоскость грани AA₁D₁D по прямой AA₁. Продолжаем MN и AA₁ (вниз за точку A) до пересечения и получаем точку X = MN ∩ AA₁. Так как X ∈ AA₁ ⊂ (ABB₁), X — точка пересечения MN с плоскостью ABB₁.
-
Плоскость A₁B₁C₁ пересекает плоскость той же грани по прямой A₁D₁. Продолжаем MN за точку N и A₁D₁ за точку D₁ до пересечения и получаем точку Y = MN ∩ A₁D₁. Так как Y ∈ A₁D₁ ⊂ (A₁B₁C₁), Y — точка пересечения MN с плоскостью A₁B₁C₁.
Если прямая лежит в плоскости грани, то она пересекает плоскость другой грани в точке, где она пересекает общую прямую двух плоскостей (ребро или его продолжение).
X = MN ∩ AA₁ (на продолжении AA₁ за точку A) — точка пересечения с плоскостью ABB₁; Y = MN ∩ A₁D₁ (на продолжении A₁D₁ за точку D₁) — точка пересечения с плоскостью A₁B₁C₁.
Постройте сечения, проходящие через указанные точки. (Первый куб: M на ребре BB₁, N на ребре CC₁, точка D. Второй куб: M на ребре AB, N на ребре AD, P на ребре CC₁.)
Первый куб: точки D, M, N.
- N и D лежат в грани DCC₁D₁, проводим отрезок DN (сторона сечения).
- M и N лежат в грани BCC₁B₁, проводим прямую MN. Продолжаем её до пересечения с прямой BC в точке P (за точкой B).
- P и D лежат в плоскости основания, проводим PD. Она пересекает ребро AB в точке Q.
- Q и M лежат в грани ABB₁A₁, проводим QM.
Сечение — четырёхугольник DQMN.
Второй куб: точки M, N, P.
- M и N лежат в плоскости основания, проводим прямую MN. Она пересекает прямую DC в точке Q (за точкой D) и прямую BC в точке X (за точкой B).
- Q и P лежат в плоскости грани DCC₁D₁. Прямая QP пересекает ребро DD₁ в точке R.
- X и P лежат в плоскости грани BCC₁B₁. Прямая XP пересекает ребро BB₁ в точке S.
- Соединяем M с S (грань ABB₁A₁) и N с R (грань AA₁D₁D).
Сечение — пятиугольник MNRPS.
Сторона сечения — отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань. Если две точки лежат в одной грани, их соединяем. Если нет — продолжаем прямую до пересечения с прямой в плоскости соседней грани.
Первый куб: четырёхугольник DQMN, где Q — точка на ребре AB, Q = PD ∩ AB, P = MN ∩ BC.
Второй куб: пятиугольник MNRPS, где R ∈ DD₁, S ∈ BB₁.
Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и A₁B₁C₁. (M лежит на ребре BB₁, N лежит на ребре CC₁.)
Точки M и N лежат в плоскости грани BCC₁B₁, значит, прямая MN лежит в этой плоскости.
-
Плоскость ABC пересекает грань BCC₁B₁ по прямой BC. Продолжаем MN за точку N и BC за точку C и получаем точку X = MN ∩ BC. Так как X ∈ BC ⊂ (ABC), это точка пересечения MN с плоскостью ABC.
-
Плоскость A₁B₁C₁ пересекает эту грань по прямой B₁C₁. Продолжаем MN за точку M и B₁C₁ за точку B₁ и получаем точку Y = MN ∩ B₁C₁. Так как Y ∈ B₁C₁ ⊂ (A₁B₁C₁), это точка пересечения MN с плоскостью A₁B₁C₁.
Прямая, лежащая в плоскости грани, пересекает плоскость основания в точке пересечения с линией, по которой эта грань пересекает основание.
X = MN ∩ BC (на продолжении BC за точку C) — точка пересечения с плоскостью ABC; Y = MN ∩ B₁C₁ (на продолжении C₁B₁ за точку B₁) — точка пересечения с плоскостью A₁B₁C₁.
Постройте сечения, проходящие через указанные точки. (Первый куб: M на ребре D₁C₁, точки A и C. Второй куб: P на ребре A₁B₁, M на ребре AD, N на ребре DC.)
Первый куб: точки A, C, M.
- A и C лежат в основании, проводим AC.
- C и M лежат в грани DCC₁D₁, проводим CM.
- Плоскости оснований параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой, параллельной AC, то есть параллельной A₁C₁. Через M проводим прямую, параллельную A₁C₁, до пересечения с ребром A₁D₁ в точке K (A₁K = C₁M).
- Соединяем K с A (грань AA₁D₁D).
Сечение — равнобедренная трапеция ACMK.
Второй куб: точки P, M, N.
- M и N лежат в основании, проводим MN. Она пересекает прямую AB в точке X (за точкой A) и прямую BC в точке Y (за точкой C).
- X и P лежат в плоскости грани ABB₁A₁. Прямая XP пересекает ребро AA₁ в точке R. Соединяем R с M (грань AA₁D₁D).
- Секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой, параллельной MN. Через P проводим её до пересечения с ребром B₁C₁ в точке Q.
- Q и Y лежат в плоскости грани BCC₁B₁. Прямая QY пересекает ребро CC₁ в точке T.
- Соединяем T с N (грань DCC₁D₁).
Сечение — шестиугольник MNTQPR.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. Поэтому в параллельной грани сторону сечения строим параллельно уже найденной.
Первый куб: трапеция ACMK, где K ∈ A₁D₁, MK
Второй куб: шестиугольник MNTQPR, где R ∈ AA₁, Q ∈ B₁C₁, T ∈ CC₁, PQ
