Построй сечения, проходящие через данные точки… (геометрия)

№ (параллелепипед, первый рисунок)Сечение параллелепипеда плоскостью через вершину A, точку M на A₁B₁ и точку N на DD₁

Построй сечения, проходящие через данные точки. Параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ : вершина $A$ , точка $M$ на ребре $A_{1} B_{1}$ (около $B_{1}$ ), точка $N$ на ребре $D D_{1}$ .

Решение

Точки и лежат в грани . Проводим прямую и продолжаем её до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
Точки и лежат в плоскости верхней грани. Проводим прямую . Она пересекает ребро в точке .
Точки и лежат в грани . Соединяем их.
Точки и лежат в грани . Соединяем их.
Получаем сечение .

💡 Почему так

Две точки сечения можно соединять, только если они лежат в одной грани. Если прямая выходит за ребро, её продолжают до пересечения с прямой в другой грани.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где — точка пересечения прямой с ребром , а .

№ (параллелепипед, второй рисунок)Сечение через точки на рёбрах AB, DD₁ и CC₁

Построй сечения, проходящие через данные точки. Параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ : точка $K$ на ребре $A B$ , точка $N$ на ребре $D D_{1}$ , точка $P$ на ребре $C C_{1}$ .

Решение

Точки и лежат в грани . Проводим прямую до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
Точки и лежат в плоскости основания. Проводим прямую . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем и (грань ).
Грани и параллельны. Поэтому через проводим прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем и (грань ).
Получаем сечение .

💡 Почему так

Плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Это позволяет найти точку без дополнительных продолжений.

Ответ

Сечение — пятиугольник : , , , , .

№ (параллелепипед, третий рисунок)Сечение через точки на рёбрах BB₁, CC₁ и D₁C₁

Построй сечения, проходящие через данные точки. Параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ : точка $M$ на ребре $B B_{1}$ , точка $P$ на ребре $C C_{1}$ , точка $Q$ на ребре $D_{1} C_{1}$ .

Решение

Точки и лежат в грани . Проводим прямую до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
Точки и лежат в плоскости верхней грани. Проводим прямую . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем и (грань ).
Соединяем и (грань ).
Получаем сечение .

💡 Почему так

Чтобы найти след плоскости на верхней грани, продолжаем до пересечения с прямой . Затем соединяем эту точку с .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где — точка пересечения прямой с ребром , а .

№ (пирамида, первый рисунок)Сечение тетраэдра через вершину A и точки на BC и SB

Построй сечения, проходящие через данные точки. Тетраэдр $S A B C$ : вершина $A$ , точка $M$ на ребре $B C$ , точка $N$ на ребре $S B$ .

Решение

и лежат в грани . Соединяем их.
и лежат в грани . Соединяем их.
и лежат в грани . Соединяем их.
Получаем сечение .

💡 Почему так

Все три точки лежат попарно в общих гранях, поэтому сечение — треугольник со сторонами в этих гранях.

Ответ

Сечение — треугольник .

№ (пирамида, второй рисунок)Сечение тетраэдра через точки на AS, CB, SB

Построй сечения, проходящие через данные точки. Тетраэдр $S A B C$ : точка $M$ на ребре $A S$ , точка $N$ на ребре $C B$ , точка $P$ на ребре $S B$ .

Решение

и лежат в грани . Проводим прямую до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
и лежат в плоскости основания . Проводим прямую . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем и (грань ).
Соединяем и (грань ).
Получаем сечение .

💡 Почему так

След секущей плоскости на основании проходит через точку и точку .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

№ (пирамида, третий рисунок)Сечение тетраэдра через точки M на AS, N на CS и K в грани ABC

Построй сечения, проходящие через данные точки. Тетраэдр $S A B C$ : точка $M$ на ребре $A S$ , точка $N$ на ребре $C S$ , точка $K \in A B C$ (внутри грани $A B C$ ).

Решение

и лежат в грани . Проводим прямую до пересечения с прямой в точке (за точкой ).
и лежат в плоскости . Проводим прямую . Она пересекает ребро в точке и ребро в точке .
Соединяем и (грань ).
Соединяем и (грань ).
Получаем сечение .

💡 Почему так

След плоскости на основании — прямая . Точки её пересечения со сторонами треугольника дают вершины сечения.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , , .

Помогло?

Построй сечения, проходящие через данные точки. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁…