Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁… (геометрия)

№ Сечение параллелепипеда плоскостью MNP

⚠️

Решены задания , и , остальные пропущены по подписи. На фото нет текста условий, только чертежи с точками. Я принял условие «построить сечение плоскостью, проходящей через отмеченные точки». Положение точек оценено по клеткам, поэтому на твоём чертеже точки пересечения могут оказаться чуть иначе.

Построить сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ , $P$ . Точка $M$ лежит на ребре $D_{1} C_{1}$ , точка $N$ на ребре $C C_{1}$ , точка $P$ на ребре $B C$ .

Решение

Точки и лежат в грани , поэтому проводим .
Точки и лежат в грани . Прямая пересекает продолжение ребра за точкой в точке .
Точки и лежат в плоскости основания. Прямая пересекает ребро в точке . Отрезок — след сечения на основании.
Прямая пересекает продолжение ребра в точке (ниже ). Точки и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке . Отрезок — след на грани .
Точки и лежат в плоскостях параллельных граней, поэтому в грани проводим параллельно (линии пересечения секущей плоскости с параллельными плоскостями и параллельны). Точка лежит на .
Соединяем и в верхней грани.

💡 Почему так

Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Если две точки лежат в одной грани, соединяем их, а если нет, то находим след плоскости на продолжении ребра.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

№ Сечение параллелепипеда плоскостью MNP

Построить сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ , $P$ . Точка $M$ лежит на ребре $A A_{1}$ , точка $N$ на ребре $B_{1} C_{1}$ , точка $P$ на ребре $C C_{1}$ .

Решение

и лежат в грани , поэтому проводим .
Прямая пересекает продолжение ребра в точке . Точка лежит в плоскости основания и в плоскости грани .
Прямая лежит в плоскости грани и пересекает в точке . Отрезок — след сечения на передней грани.
Соединяем и в верхней грани.
Грань параллельна грани . Через проводим в ней , где .
Грань параллельна грани . Через проводим в ней , где .
Соединяем и в основании.

💡 Почему так

Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Это позволяет достроить сечение, не находя все точки пересечения прямых.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

№ Сечение призмы плоскостью MNK

Построить сечение призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ , $K$ . Точка $M$ лежит на ребре $A B$ , точка $K$ на ребре $C C_{1}$ , $N \in A C C_{1} A_{1}$ (задняя грань).

Решение

Точки и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке .
Точки и лежат в плоскости основания, поэтому проводим . Это след сечения на основании.
Прямая пересекает продолжение ребра в точке (за точкой ). Точка лежит в плоскости грани .
Точки и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке .
Соединяем и в грани . Получаем четырёхугольник .

💡 Почему так

След секущей плоскости на плоскости основания — прямая . Через неё и точку находим остальные вершины сечения.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

Помогло?

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через…