Назовём клетчатую фигуру связной, если в ней из… (математика)

№ Периметр связной клетчатой фигуры

Назовём клетчатую фигуру связной, если в ней из любой клетки можно дойти до любой другой клетки, переходя каждый раз к соседней клетке (имеющей с предыдущей общую сторону). Дан клетчатый прямоугольник $3 \times 7$ . Отметьте несколько клеток так, чтобы получилась связная клетчатая фигура с периметром, равным 32.

Решение

Если у фигуры из клеток есть пар соседних клеток (с общей стороной), то периметр равен .

Возьмём «гребёнку»: верхняя строка целиком ( клеток) и в нижних двух строках клетки столбцов , , , (по клетки в каждом, всего ).

Фигура связная: все «зубья» присоединены к верхней строке.

Считаем:

Пар соседних клеток: в верхней строке , в зубьях по одной паре сверху вниз в каждом (между верхней строкой и -й строкой) и ещё по одной между -й и -й строками: . Всего .

Получилось нужное значение.

💡 Почему так

Каждая пара соседних клеток прячет две стороны, поэтому периметр равен . Чтобы периметр был наибольшим, пар соседних клеток должно быть как можно меньше, то есть фигура должна быть «ветвистой» без квадратов .

Ответ

✓ dzmen.ru

Отметить клетки:
-я строка: все клеток;
-я и -я строки: клетки в столбцах , , , .
Всего клеток, периметр .

№ Задача на движение по кругу

Заяц и Волк стартуют одновременно и бегут по очень большому кругу в одном направлении. Скорость Зайца — 8 м/с, скорость Волка — 10 м/с. Во время второго круга у Зайца развязались шнурки, на перевязку которых он потратил 20 секунд. На сколько секунд раньше теперь Волк догонит Зайца по сравнению с ситуацией, когда Зайцу не нужно было бы делать вынужденную остановку?

Решение

Пусть длина круга м. Волк догонит Зайца, когда обгонит его на целый круг.

Без остановки скорость сближения м/с, время:

С остановкой Заяц за секунд потерял м пути. К моменту встречи Заяц бежал секунд:

Разница:

Круг очень большой, поэтому остановка происходит до встречи.

💡 Почему так

Остановка отбросила Зайца назад на м относительно того, где он был бы, а Волк сокращает отставание со скоростью м/с, поэтому выигрыш по времени равен с.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Назовём клетчатую фигуру связной, если в ней из любой клетки можно дойти…