Задание
На рисунке изображён угол с двумя пересекающимися отрезками. Необходимо найти длину отрезка, обозначенного буквой x.
Вершина угла — точка O. На одной стороне лежат точки P и T:
Применим теорему Менелая к треугольнику OTC и прямой PD. Она пересекает стороны OT и TC и продолжение OC:
Теорема Менелая: если прямая пересекает стороны треугольника (или их продолжения), то произведение трёх отношений отрезков, взятых по обходу, равно
x =
В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N так, что NC = 4BN. На продолжении стороны AC за точку A отмечена точка M так, что MA = AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найдите отношение AF : FB.
Пусть
Применим теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой MN (точки F, N, M):
AF : FB =
Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AC в точке K. Известно, что AK = 6, CK = 2. Прямая, проходящая через точки касания этой окружности с другими сторонами треугольника, пересекает прямую AC в точке M. Найдите MC.
Пусть P — точка касания со стороной AB, Q — со стороной BC. Отрезки касательных из одной точки равны:
Применим теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой PQ (точки P, Q, M):
Точка M лежит за C, поэтому
MC =
Через точку M на основании AC треугольника ABC провели прямые, параллельные двум другим его сторонам и пересекающие их в точках P и Q. Прямая PQ пересекает прямую AC в точке K. Найдите отрезок AK, если AM = 2, CM = 5.
Здесь
Так как
Так как
Теорема Менелая для треугольника ABC и прямой KPQ:
Точка K лежит за A, поэтому
AK =
Стороны NK и MK треугольника MNK пересекает прямая в точках C и B соответственно, а продолжение стороны MN за точку M эта прямая пересекает в точке A. Известно, что AM = 4 см, NC в 3 раза длиннее CK, KB : BM = 5 : 3. Найдите длину стороны треугольника MN.
Пусть
Теорема Менелая для треугольника MNK и прямой ABC:
Точка A лежит за M, поэтому
MN =
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. На прямой AC взяли точку N так, что точка C делит отрезок AN в отношении 2 к 3. В каком отношении прямая MN делит сторону треугольника AB?
Пусть
Теорема Менелая для треугольника ABE и прямой PMN:
AP : PB =
В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. AK : KB = 3 : 2, CL : LB = 1 : 2, Q – точка пересечения отрезков AL и CK. Площадь треугольника BQC равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.
Пусть
Теорема Менелая для треугольника ABL и прямой KQC:
Значит
Площади треугольников с общей вершиной и основаниями на одной прямой относятся как основания:
S(ABC) =
