Восьмиугольник не обязан быть выпуклым.
Оценка сверху. Прямая пересекает каждую сторону восьмиугольника не более одного раза, значит, не более точек пересечения. Каждая сторона даёт части не более одного куска. Отрезки самой прямой (хорды) разделяют точки пересечения парами, поэтому хорд не больше . Значит, у одной части не более сторон.
. Выпуклый восьмиугольник. Отрежем прямой угол при вершине, пересекая две соседние стороны. Получим треугольник.
. Выпуклый восьмиугольник. Проведём прямую через внутренние точки двух сторон. Две части вместе имеют сторон. Если выбрать стороны так, чтобы одна часть содержала целые стороны и по куску двух разрезанных, а ещё сторону — разрез, получим . Для нужно, чтобы одна часть содержала целых сторон, куски двух разрезанных и хорду: . Другая часть тогда имеет сторон, всего . Это больше , значит, целых сторон не получится. Поэтому берём разрез через внутренние точки двух сторон, между которыми лежат целые стороны с одной стороны и целые с другой. Получаем части с и сторон: всего . Для берём разрез через внутренние точки двух сторон, между которыми и целые стороны. Части: и сторон, всего . ✓
. Берём невыпуклый восьмиугольник типа «гребёнки» и прямую, пересекающую его сторон в шести точках. Остальные стороны лежат целиком по одну сторону прямой. Часть по эту сторону имеет хорды и кусков сторон: сторон.
. Невыпуклый восьмиугольник, прямая пересекает все сторон. Верхняя часть имеет хорды и кусков сторон: сторон.
