На плоскости нарисованы десятиугольник и прямая, которая делит его на части. Оказалось, что одна из этих частей имеет ровно k сторон. Чему может быть равно k? Выберите все подходящие варианты: 3; 10; 14; 15; 16; 18 (на фото видны варианты до 18, возможно, ниже есть ещё варианты).
Десятиугольник может быть невыпуклым.
Часть лежит по одну сторону от прямой. Её стороны бывают двух видов: куски сторон десятиугольника и отрезки, лежащие на самой прямой.
-
Каждая сторона десятиугольника пересекается с прямой не более одного раза. Значит, в одну часть от неё попадает не более одного куска, и кусков не больше
. -
Пусть у части
сторон лежат на прямой. Между двумя соседними такими отрезками идёт ломаная из кусков сторон десятиугольника. Один кусок не может соединять два отрезка на прямой, иначе он сам лежал бы на прямой. Поэтому в каждой такой ломаной не меньше кусков, то есть и . -
Тогда
. -
Все значения до
достижимы: : отсекаем треугольник у вершины. : например, отсекаем часть выпуклого десятиугольника так, чтобы получилось сторон. : , куски сторон и отрезка на прямой. : невыпуклый десятиугольник с четырьмя узкими треугольными вырезами у прямой, каждый вырез образован двумя сторонами, и пятью отрезками на прямой. Получается сторон.
-
Значения
и больше , поэтому невозможны.
У части не больше
