На конкурсе «А ну-ка чудища!» стоят в ряд 17… (алгебра)

№ Ряд драконов: локальные максимумы и минимумы

На конкурсе «А ну-ка чудища!» стоят в ряд 17 драконов. У соседей число голов отличается на один. Если у дракона больше голов, чем у его правого и левого соседей, его считают хитрым, если меньше, чем у двух его соседей, — сильным, остальных (в том числе и стоящих с краю) считают обычными. В ряду есть ровно два хитрых дракона — с 4 и 7 головами и ровно три сильных — с 2, 3 и 5 головами. У первого и последнего драконов голов одинаковое количество.

Сколько голов может быть у первого дракона?

Решение

Число голов меняется на при каждом шаге. Поэтому хитрые (максимумы) и сильные (минимумы) чередуются. Два максимума и три минимума дают порядок: сильный, хитрый, сильный, хитрый, сильный. Крайние драконы обычные, поэтому ряд начинается спуском к первому минимуму и заканчивается подъёмом от последнего.

Обозначим минимумы , максимумы .

Сильный дракон с головами не может стоять рядом с хитрым с головами, потому что у хитрого соседи должны иметь меньше голов. Значит, головами обладает крайний сильный дракон ( или ). Ряд можно перевернуть, так как первый и последний драконы равны. Поэтому считаем . Тогда , , а и — это и .

Пусть первый дракон имеет голов, последний — голов. Всего шагов:

Из условия следует .

Случай : , , откуда , . Ряд: , , , , , , , , , , , , , , , , . Он содержит драконов.

Случай : , , откуда , . Ряд: , , , , , , , , , , , , , , , , . Он тоже содержит драконов.

В обоих случаях хитрые и , сильные , , , а первый и последний дракон имеют по голов.

💡 Почему так

Соседние числа отличаются на , поэтому максимумы и минимумы чередуются. Минимум не может быть рядом с максимумом , поэтому он стоит с краю.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Точки экстремума по графику

Функция, график которой изображён на рисунке, определена на промежутке $[- 8; 8]$ .

Сколько точек экстремума данной функции на промежутке $(- 8; - 2)$ ?

Решение

Точки экстремума — это точки, где график меняет возрастание на убывание или наоборот. На промежутке по графику:

максимумы в точках , , ;
минимумы в точках , .

Следующий минимум лежит вне промежутка. Конец не входит в интервал и не считается.

Всего точек. Ответ неверный.

💡 Почему так

Точка экстремума — внутренняя точка, в которой функция меняет характер монотонности.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Точки максимума и минимума по графику

На рисунке изображён график функции $y = f (x)$ , определённой на интервале $(- 6; 6)$ .

Сколько у данной функции точек максимума?

Сколько у данной функции точек минимума?

Решение

Точки максимума — там, где возрастание сменяется убыванием: , , . Всего .

Точки минимума — там, где убывание сменяется возрастанием: и . Всего .

В точках и график лишь «выпрямляется» и продолжает убывать. Это не экстремумы. Концы интервала не входят в область определения.

💡 Почему так

В точке экстремума характер монотонности меняется. Если функция убывает до точки и после неё, экстремума нет.

Ответ

✓ dzmen.ru

Точек максимума:
Точек минимума:

№ Точка минимума и значение функции

На рисунке изображён график функции $y = f (x)$ , определённой на интервале $(- 1; 9)$ .

Найдите точку минимума этой функции.

Найдите значение функции в этой точке.

Решение

На интервале график сначала убывает, затем возрастает до , после чего убывает. Убывание сменяется возрастанием в точке . Это единственная точка минимума. Концы интервала не входят в область определения.

По графику .

💡 Почему так

Точка минимума — точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием.

Ответ

✓ dzmen.ru

Точка минимума:
Значение функции:

Помогло?

На конкурсе «А ну-ка чудища!» стоят в ряд 17 драконов. У соседей…