n → ∞ 5 + 8 + + (3n + 2)√9n⁴ -… (математика)

aПредел последовательности

⚠️

Оба фото одинаковые. В нижней части страницы пункты a) и c) следующего задания обрезаны справа и снизу, поэтому они не решены. Переснимите нижнюю часть страницы полностью.

\lim_{n \to \infty} \frac{5 + 8 + \ldots + (3n + 2)}{\sqrt{9n^4 - n + 3}}

Решение

В числителе находится сумма первых членов арифметической прогрессии, где:

Найдем сумму числителя по формуле

Подставим сумму в исходный предел:

Разделим числитель и знаменатель на

(при внесении под корень

становится

Так как при

слагаемые

Ответ

cПредел показательно-степенной функции

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5x + 8}{x - 2}\right)^{x + 4}

Решение

Найдем предел основания дроби при :

Предел показателя степени при

Тогда при

При

Тогда:

Таким образом, общий двусторонний предел при

не существует (или, если подразумевается

, он равен

💡 Почему так

Неопределенности вида здесь нет, так как основание стремится к , а не к . Предел зависит от знака бесконечности.

Ответ

(при равен , при равен , двусторонний предел не существует)

eПредел функции (тригонометрия)

\lim_{x \to \pi} \frac{\sin^2 3x}{1 + x \sin x - \cos 2x}

Решение

Подставим в выражение:
В числителе: .
В знаменателе: .
Получили неопределенность вида .

Сделаем замену переменной: пусть , тогда , и при переменная .
Преобразуем тригонометрические функции:

Знаменатель запишется в виде:

Используем формулу

Подставим полученные выражения в предел:

Преобразуем первый множитель, используя эквивалентности

при

Предел второго множителя:

Перемножим пределы:

Ответ

Помогло?