Евгений выбрал 24 любимые буквы русского языка и… (алгебра)

№ Палиндромы со вхождением АБ

Евгений выбрал 24 любимые буквы русского языка и принялся составлять из них палиндромы, то есть слова (не обязательно осмысленные), которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, ЪУРРУЪ и БЯБ являются палиндромами, а ЭХЭХХХ и ОР — нет). Используя только свои любимые буквы, Евгений выписал все палиндромы длиной не более шести букв, в которых присутствует буквосочетание АБ (буквы А и Б входят в число любимых). Сколько всего палиндромов у него получилось?

Решение

Палиндром однозначно задаётся своей первой половиной. Разберём по длине.

Длина . Палиндром имеет вид «xx», АБ в нём быть не может: .

Длина . Вид . Подходят АБА и БАБ: .

Длина . Вид . Две средние буквы одинаковы, поэтому АБ стоит на краю: АББА или БААБ: .

Длина . Вид . Сочетание АБ может стоять в четырёх местах:

позиции –: , любая — слова;
позиции –: , любая — ;
позиции –: , любая — ;
позиции –: , любая — .

Пересекаются только -й и -й случаи (АБАБА) и -й и -й (БАБАБ), по одному слову. Итого .

Длина . Вид . Середина состоит из одинаковых букв, поэтому АБ возможно в позициях –, –, –, –. Это те же четыре случая, что и для длины , с теми же пересечениями: .

Всего: .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Циклические перестановки цифр

Алиса написала на доске четырёхзначное число $A$ , не содержащее нулей в своей записи. Валя затем стёрла первую цифру числа $A$ и дописала её же в конец, получив новое четырёхзначное число $B$ . Света после этого так же перенесла первую цифру в конец, получив число $C$ . Завершила это Даша, превратив таким же образом число на доске в число $D$ . Оказалось, что $B + C + D = 15516$ . Чему могло быть равно $A$ ? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Пусть . Тогда , , .

Запишем коэффициенты как , , , . Пусть . Тогда

Число четырёхзначное, поэтому от до . Проверим каждое значение:

: , сумма цифр ✓
: , есть ноль ✗
: , сумма цифр ✗
: , сумма цифр ✓
: , сумма цифр ✗
: , есть ноль ✗
: , сумма цифр ✓
: , сумма цифр ✗

Проверка для : ✓.

Ответ

✓ dzmen.ru

, ,

Помогло?

Евгений выбрал 24 любимые буквы русского языка и принялся составлять из них…