Представьте степень с дробным показателем в виде… (алгебра)

№

Степень с дробным показателем и корень

Представьте степень с дробным показателем в виде корня.
а) $3^{\frac{2}{5}} =$
б) $a^{1 \frac{2}{3}} =$
в) $1 0^{0, 5} =$
г) $2^{\frac{3}{4}} =$
д) $5^{1 \frac{2}{3}} =$
е) $b^{0, 6} =$

Решение

Используем формулу .

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б)
в)
г)
д)
е)

№

Значение выражений со степенями

Найдите значение выражения.
а) $(\frac{5 ^{\frac{1}{4}} \cdot 5 ^{\frac{1}{3}}}{12 5})^{2} =$
б) $\frac{4 ^{3, 2} \cdot 7 ^{4, 2}}{2 8 ^{4, 2}} =$
в) $\frac{( 3 a ^{9} b ^{8} ) ^{3} \cdot ( 18 a ^{4} b ^{9} ) ^{2}}{( 3 a ^{5} b ^{8} ) ^{7}} =$

Решение

а) , поэтому

б) , поэтому

в) Числитель: , . Произведение: .
Знаменатель: .

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б)
в)

№

Определение степенной функции

Запишите определение степенной функции.

Решение

Степенная функция — это функция вида , где — заданное действительное число (показатель степени).

Ответ

✓ dzmen.ru

Степенная функция — функция вида , где — любое заданное действительное число.

№

Графики степенных функций

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

$y = 3 x$ ;
$y = x^{\frac{1}{3}}$ ;
$y = x^{3}$ ;
$y = \frac{1}{x ^{3}}$ ;
$y = x$
Графики а), б), в), г) — на рисунке.

Решение

а) График проходит через начало координат, плоский около нуля и круто растёт на обеих сторонах — это кубическая парабола ().

б) График есть только при , начинается в начале координат и идёт плавно вправо — это ().

в) График определён при всех , симметричен относительно начала координат и в нуле имеет вертикальную касательную — это (). Формула ) — это та же функция.

г) График состоит из двух ветвей в первой и третьей четвертях, разрывен при — это гипербола ().

Ответ

✓ dzmen.ru

а — , б — , в — (то же, что ), г —

№

Определение показательной функции

Запишите определение показательной функции.

Решение

Показательная функция — функция вида , где основание и .

Ответ

✓ dzmen.ru

Показательная функция — функция вида , где , .

№

Свойства показательной функции

Перечислите основные свойства показательной функции.

$D (y)$ : $x \in$
$E (y)$ : $y \in$
Чётность функции (чётная, нечётная либо функция общего вида):
Функция является возрастающей, если
Функция является убывающей, если

Решение

Свойства функции , , :

показатель степени может быть любым;
при любом , и принимает все положительные значения;
и , значит, функция общего вида;
при функция возрастает;
при функция убывает.

Ответ

✓ dzmen.ru

функция общего вида (ни чётная, ни нечётная)

№

Графики показательных функций

Постройте (схематично) график функции.
а) $y = 4^{x}$
б) $y = (\frac{1}{4})^{x}$

Решение

а) Таблица значений для :

x	-	-
y

Основание больше , функция возрастает, график проходит через и приближается к оси слева.

б) Таблица значений для :

x	-
y

Основание меньше , функция убывает, график проходит через и приближается к оси справа.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) возрастающая кривая через и , лежит выше оси
б) убывающая кривая через и , лежит выше оси (симметрична графику а) относительно оси )

№

Методы решения показательных уравнений

Запишите основные методы решения показательных уравнений.

метод уравнивания оснований

Решение

Основные методы:

уравнивание оснований: ;
вынесение общего множителя за скобки;
введение новой переменной (замена , ).

Ответ

✓ dzmen.ru

метод уравнивания оснований
вынесение общего множителя за скобки
введение новой переменной

№

Простейшие показательные уравнения

Решите уравнения.
а) $7^{x + 1} = 49$
б) $1 0^{x + 1} = \frac{1}{1000}$
в) $5^{x + 1} = 0, 2 \cdot 5^{- x}$
г) $(\frac{1}{2})^{x - 10} = 1 6^{x}$
д) $3 5^{x} - 5125 = 0$
е) $3^{2 x - 1} = 81$
ж) $16 = (\frac{1}{64})^{x - 2}$
з) $3^{2 + x} = 0, 6 \cdot 5^{2 + x}$

Решение

а) , , .

б) , , .

в) , поэтому , , , .

г) , , поэтому , , .

д) , , .

е) , , .

ж) , , , .

з) Делим на : , , .

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)

№

Показательные уравнения: вынесение множителя и замена

Решите уравнения.
а) $6^{x + 1} + 6^{x} = 252$
б) $(\frac{2}{3})^{x - 1} + (\frac{2}{3})^{1 - x} = 2$
в) $2^{5 x + 6} - 7^{5 x + 2} = 2^{5 x + 3} + 7^{5 x + 1}$
г) $2^{2 x + 1} - 2^{2 x - 1} = 96$
д) $(\frac{5}{7})^{x} - 2 (1 \frac{2}{5})^{x} + 1 = 0$
е) $6^{x} - 2^{x} - 2^{x + 2} = 2^{x + 1} - 6^{x + 1}$

Решение

а) , , .

б) Пусть , тогда .

, , .

в) Переносим: .

Делим на и на : , , , .

г) , , , , .

д) , значит, , где .

или (не подходит, ). , .

е)

, .

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б)
в)
г)
д)
е)

№

Определение логарифма

Вставьте пропущенные слова (знаки или буквы) в определение логарифма.
Логарифмом числа $b$ ( $b$ ______) по основанию $a$ ( $a$ ______) называется ______, в которую надо ______ число ______, чтобы получилось число ______.

Решение

Логарифм числа по основанию — это показатель степени, в которую нужно возвести , чтобы получить : . Условия: , , .

Ответ

✓ dzmen.ru

Логарифмом числа () по основанию (, ) называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получилось число .

№

Запись логарифма формулой

Запишите в виде формулы утверждение.
а) логарифм числа 9 по основанию 4:
б) логарифм числа 7 по основанию 7:
в) логарифм числа 3 по основанию $\frac{1}{9}$ :
г) логарифм числа $\frac{1}{3}$ по основанию 9:

Решение

Логарифм числа по основанию записывается как .

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б) (равен )
в)
г)

№

Показательные уравнения через логарифм

Решите уравнения.
а) $3^{x + 1} = 6$
б) $(\frac{3}{8})^{x - 2} = 5$

Решение

а) По определению логарифма , откуда

б) По определению логарифма , откуда

Ответ

✓ dzmen.ru

а)
б)

Помогло?

Представьте степень с дробным показателем в виде корня. а) 32/5= б) a12/3=…