Есть клетчатая доска размером 11×11 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2×2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?
Ответ получен рассуждением об оценке и о построении. Строгого доказательства того, что построение возможно для всей доски, здесь нет, поэтому ответ нужно проверить.
-
Всего на доске
клетка. Нужно понять, сколько клеток обязательно останутся белыми. -
Последний наклеенный стикер ничем не накрыт, поэтому две его белые клетки видны. Белыми остаются как минимум эти
клетки. -
Рассмотрим верхнюю строку. Видимая чёрная клетка в ней принадлежит стикеру, лежащему в двух верхних строках. Его белая клетка в этой же строке должна быть накрыта следующим стикером, сдвинутым на одну клетку вдоль строки. Цепочка таких стикеров идёт в одну сторону и должна где-то закончиться. Последний стикер цепочки оставляет белую клетку в верхней строке. Так же получается для нижней строки, левого и правого столбцов.
-
Один белый угол закрывает сразу две стороны. Угловой стикер, у которого белая клетка стоит в углу доски, закрывает стороны, сходящиеся в этом углу. Поэтому белыми достаточно сделать два противоположных угла:
и . -
Остаются белыми клетки
, и ещё одна белая клетка последнего стикера. Если последним наклеить угловой стикер у клетки , то его вторая белая клетка будет . Тогда белых клеток всего . -
Чёрных клеток остаётся
.
Последний стикер всегда оставляет
