Есть клетчатая доска размером 13×13 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2×2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?
Нумеруем клетки
Пример на
Берём все
Клеим стикеры в порядке убывания суммы
Цвет клетки определяет последний стикер, который её накрывает.
- Клетка
при . Её накрывают стикеры , , , . Последним наклеен , и клетка — его правый нижний угол, то есть чёрная. - Клетка
— левый верхний угол , чёрная. - Клетка
при . Последним её накрывает , и это его правый верхний угол, то есть белая. - Клетка
при . Последним её накрывает , и это его левый нижний угол, то есть белая.
Значит, белыми остаются только первая строка и первый столбец без клетки
Чёрных клеток:
Почему больше нельзя.
Клетка, которую не накрыл ни один стикер, белая. Значит, чёрных клеток может быть не больше, чем покрыто стикерами. Верхний стикер виден целиком, и в нём две белые клетки. Если «снимать» стикеры сверху вниз, то каждый следующий стикер, соседний с уже снятыми, добавляет хотя бы одну новую видимую белую клетку, пока не будет покрыта вся доска: на каждый новый столбец и каждую новую строку приходится минимум одна белая клетка. Это даёт не менее
Цвет клетки определяет верхний стикер. Если клеить стикеры от правого нижнего угла к левому верхнему, то у каждой клетки, кроме первой строки и первого столбца, верхним оказывается стикер, для которого она чёрная.
