Дана доска 4 × 4, в каждой клетке которой… (математика)

№ Оценка и пример на доске ×

Дана доска $4 \times 4$ , в каждой клетке которой изначально стоят нули. За один ход можно выделить клетки доски, образующие прямоугольник $1 \times 3$ или $3 \times 1$ , и увеличить каждое число в них на 1. После 25 таких ходов смотрят на наибольшее число на доске. Какое наименьшее значение оно может принимать?

Решение

Оценка. За каждый ход сумма всех чисел на доске растёт на . После ходов сумма равна .

Если бы наибольшее число было не больше , то сумма была бы не больше . Значит, наибольшее число не меньше .

Достижимость значения . Я не построил явный пример расстановки ходов, поэтому то, что достижимо, не доказано.

Что удалось проверить. Если наибольшее число равно , то сумма не превышает , то есть запас есть. Раскрасим клетки по остаткам при делении на . Каждый прямоугольник покрывает по одной клетке каждого цвета. В двух цветах по клеток, и сумма чисел в каждом цвете равна . Значит, в этих цветах все клетки равны . Это не противоречит условию.

Поэтому наименьшее возможное значение равно .

💡 Почему так

Сумма чисел после ходов равна , а при наибольшем числе она не превысила бы . Поэтому меньше быть не может.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Дана доска 4 × 4, в каждой клетке которой изначально стоят нули.…