Алла ходит по прямой набережной длиной 1 км, в каждой из крайних…

Пусть скорость Аллы , скорость Миши . Положение Аллы в момент выхода Миши неизвестно, и направление Миши тоже. Нужно найти самый «невыгодный» случай, когда первая встреча наступает как можно позже.

Чтобы убрать развороты, «развернём» набережную в окружность длиной м: движение туда-обратно по отрезку равно равномерному движению по этой окружности. Точки отрезка и на окружности соответствуют одному месту набережной.

Пусть — путь Аллы до встречи. Встреча на набережной происходит в двух случаях:

1. их координаты на окружности совпали (один догнал другого). Миша сближается с Аллой со скоростью , если — расстояние от Миши до Аллы по ходу, то ;

2. координаты симметричны (встречное движение). Они сближаются со скоростью , и , где — расстояние между ними по окружности в направлении сближения.

Первая встреча происходит при  . Если Миша стартует в точке с движением от ближнего конца, то при и при .

При :  .

При : встреча происходит при . Она тем больше, чем ближе к , и стремится к .

Это самый поздний вариант. Он возникает, когда Алла и Миша только что разошлись в точке на расстоянии м от конца: Миша идёт к дальнему концу, Алла — к ближнему. Другое направление Миши даёт не более .

Тогда Алла проходит м: м до конца, затем разворот и ещё

Проверка по Мише: м до дальнего конца и обратно

то есть он находится на расстоянии от ближнего конца

(отсчёт от дальнего конца: от начала координат у ближнего конца). Это совпадает с результатом Аллы.