Алла ходит по прямой набережной длиной 1.3 км, в… (математика)

№ Движение по отрезку с разворотами

Алла ходит по прямой набережной длиной 1.3 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 200 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 2 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Решение

Длина набережной м. «Развернём» движение: туда и обратно по набережной равносильно ходьбе по окружности длиной м. Положение на набережной — это точка окружности, «сложенная» пополам.

Пусть скорость Аллы , Миши , а — путь Аллы к моменту . Можно считать, что Миша стартует с отметки и идёт в положительную сторону. Алла стартует с неизвестной отметки , и пусть .

На набережной они в одной точке, если на окружности они либо совпадают, либо симметричны.

Совпадение (Миша догоняет Аллу): , откуда .
Симметрия (встреча навстречу): , откуда .

Первая встреча происходит при меньшем из двух значений . Нужно выбрать так, чтобы это время было наибольшим.

Если , то .
Если , то второе значение при приближается к , а первое значение велико.

Наибольшее время достигается при . Тогда Алла в момент выхода Миши стоит в той же точке, где он стартует ( м от конца), а идёт к ближайшему концу, и в момент они уже совпадают. Следующая встреча — при

Это максимально возможное время (в единицах пути Аллы).

Положение встречи: Миша прошёл м от точки :

Значит, он уже развернулся у дальнего конца, и его расстояние от начального конца набережной равно

До другого конца:

Это меньше, чем , значит, ближайший конец — другой.

💡 Почему так

Движение с отражениями от концов заменяют ходьбой по окружности вдвое большей длины: тогда встреча на набережной — это совпадение точек или их симметрия. Подбирая начальное положение Аллы, находят наибольшее время до первой встречи.

Ответ

✓ dzmen.ru

/ м (≈ , м)

Помогло?

Алла ходит по прямой набережной длиной 1.3 км, в каждой из крайних…