№ Контрпример в геометрии
Приведите пример, показывающий, что следующее высказывание ложно:
а) «В любом равнобедренном треугольнике любая высота является биссектрисой треугольника»;
б) «Два угла, сумма которых равна 180∘, являются смежными».
Решение
а) Рассмотрим равнобедренный треугольник с , но не равносторонний. Опустим из вершины высоту на боковую сторону (при необходимости — на её продолжение).
Высота перпендикулярна по определению. Если бы она одновременно делила угол пополам, то в треугольниках и были бы равны прямые углы при , углы при и общая сторона . Тогда треугольники были бы равны, откуда . Вместе с получился бы равносторонний треугольник, вопреки выбору. Поэтому эта высота не является биссектрисой.
б) Возьмём два прямых угла при разных вершинах, расположенные отдельно. Каждый равен , их сумма . Но смежные углы по определению должны иметь общую вершину и общую сторону, а у выбранных углов их нет.
Ответ
а) Высота к боковой стороне неравностороннего равнобедренного треугольника; б) два отдельных прямых угла.
