Номер 512 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 123

Дано: диагонали и четырёхугольника пересекаются в точке , $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$.

Доказать: — параллелограмм.

Доказательство.

1. Точка лежит на диагонали между и , поэтому векторы $\overrightarrow{}$ и $\overrightarrow{}$ противоположно направлены. Пусть $\overrightarrow{}$ — вектор длины , сонаправленный с $\overrightarrow{}$. Тогда $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$, $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$ и
   

   $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$

2. Аналогично для диагонали : пусть $\overrightarrow{}$ — единичный вектор, сонаправленный с $\overrightarrow{}$; тогда
   

   $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$

3. Условие даёт $\overrightarrow{}\overrightarrow{}\overrightarrow{}$.

4. Векторы $\overrightarrow{}$ и $\overrightarrow{}$ неколлинеарны, так как лежат на разных (пересекающихся) прямых и . Если бы , то $\overrightarrow{}\frac{}{}\overrightarrow{}$, то есть векторы были бы коллинеарны (теорема . и определение произведения на число) — противоречие. Значит, , и тогда $\overrightarrow{}\overrightarrow{}$, откуда .

5. Итак, и : диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам. По признаку параллелограмма — параллелограмм.