Номер 543

Дано: — параллелограмм, — середина .

Доказать: .

Решение. Обозначим через точку пересечения с . Поскольку , а лежат на одной прямой, . Кроме того, : первое равенство следует из свойства параллелограмма, второе — из симметрии.

В треугольниках и стороны и равны. Углы и равны как накрест лежащие при , углы и — также накрест лежащие при тех же параллельных прямых и секущей . По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны. Поэтому и .

Точка лежит на прямой , параллельной , и является серединой . Если провести из и перпендикуляры к , то расстояние от до вдвое больше расстояния от до : прямая через середину , параллельная , проходит на половине высоты треугольника (свойство средней линии). Расстояние от до равно высоте параллелограмма . Следовательно, высота треугольника вдвое больше высоты параллелограмма. При общем основании получаем .