№ Биссектриса и параллельная прямая
Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе AA1 и пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что AC=AD.
Решение
Дано: треугольник , — биссектриса угла ( на ); прямая через параллельна и пересекает прямую в точке .
Найти: доказать, что .
Решение.
Так как — биссектриса угла , то .
Прямые и параллельны. Секущая (прямая ) пересекает их в точках и , поэтому углы и — соответственные и равны:
Секущая пересекает те же параллельные прямые в точках и , поэтому углы и — накрест лежащие и равны:
Так как , из двух последних равенств получаем:
В треугольнике два угла (при вершинах и ) равны, поэтому по признаку равнобедренного треугольника (стороны, лежащие против равных углов).
💡 Почему так
Соответственные и накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны; равенство двух углов треугольника даёт равенство сторон, лежащих против них.
