ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 244

№

Медиана и высота треугольника

Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Решение

Дано: треугольник , — медиана, — высота, проведённые из вершины (, лежат на прямой ).

Найти: доказать, что .

Решение.

Если медиана совпадает с высотой (), то .

Пусть . Тогда , , — вершины треугольника , в котором (так как , а лежит на прямой ). Значит, — прямоугольный треугольник, а — его гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла ), — катет. По следствию из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, поэтому

В обоих случаях , что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Равенство получается ровно тогда, когда высота совпадает с медианой, — например, в равнобедренном треугольнике с основанием .

Ответ

Доказано: , причём равенство — только когда медиана и высота совпадают.

Помогло?

Номер 244