ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 1388

№

Окружность Аполлония

Пусть $A$ и $B$ — данные точки, $k$ — данное положительное число, не равное $1$ . а) Докажите, что множество всех точек $M$ , удовлетворяющих условию $AM=kBM$ , есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки $A$ и $B$ , так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

Решение

Дано: , , . Доказать оба утверждения.

а) Выберем координаты , , . Условие для даёт . Перенесём члены и разделим на : . Выделив квадрат, получаем , где , . Следовательно, это окружность с центром .

б) Центр любой окружности через и лежит на серединном перпендикуляре к , поэтому обозначим его , а её радиус , где . Для центров получаем . Разность . Значит, .

Окружности действительно пересекаются, поскольку при точка не равноудалена от и , и на окружности через непрерывное отношение принимает значение на одной из дуг между и . Для каждой точки пересечения треугольник имеет , , ; по обратной теореме Пифагора .

Ответ

а) Окружность с центром на и радиусом ; б) в точках пересечения радиусы двух окружностей перпендикулярны.

Помогло?

Номер 1388