№
Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
Решение
Дано: четырёхугольник
- Возьмём произвольное начало и обозначим радиус-векторы вершин
. По формуле середины и . - Середины сторон имеют векторы
, , , . Суммы и одинаковы: обе равны . - Поэтому отрезки
и имеют общую середину с вектором . Они являются диагоналями параллелограмма середин сторон, значит, именно в пересекаются. - Но
. Следовательно, — также середина , а значит, лежат на одной прямой.
Ответ
Точка пересечения указанных отрезков — середина отрезка между серединами диагоналей.
Помогло?
