ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 1371

№

Векторы вдоль биссектрис

Дан треугольник $ABC$ . Докажите, что вектор $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$ направлен вдоль биссектрисы угла $A$ , а вектор $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}-\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $A$ .

Решение

Дано: . Доказать направления двух векторов.

Отложим на лучах и единичные векторы и . Их длины равны .
По правилу параллелограмма — диагональ ромба, построенного на равных векторах . У ромба диагональ из вершины делит угол между его сторонами пополам: соответствующие треугольники равны по трём сторонам. Поэтому сумма направлена вдоль внутренней биссектрисы .
Разность . Векторы и тоже единичны и направлены вдоль и луча, противоположного . Их сумма по тому же свойству ромба делит пополам внешний угол при .
Следовательно, первое и второе направления именно указанные.

Ответ

Сумма единичных векторов направлена по внутренней биссектрисе, разность — по внешней.

Помогло?

Номер 1371