№ Перпендикулярность диагонали куба и диагонали грани
Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90∘.
Решение
Дано: куб . Доказать утверждение для любой пары диагонали куба и диагонали грани, прямые которых скрещиваются.
Рассмотрим, например, диагональ куба и диагональ грани : эти прямые скрещиваются. Введём три взаимно перпендикулярных вектора рёбер из : , , . По определению куба их длины равны , попарные скалярные произведения равны нулю.
По правилу сложения векторов , . По распределительному закону их произведение равно . По признаку перпендикулярности направляющих векторов угол между данными прямыми прямой.
Для другой пространственной диагонали и грани меняются лишь порядок осей и знаки координат. Пространственная диагональ имеет по каждой оси составляющую длины , а диагональ грани — две составляющие с противоположными знаками относительно неё и нулевую третью. Их произведение снова . Следовательно, утверждение верно для любой указанной пары.
Ответ
Угол равен .
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
