№ Центр вписанной сферы пирамиды
Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.
Решение
Дано: правильная пирамида с вершиной , центром основания , вписанная сфера с центром . Доказать: .
Ось — ось вращательной симметрии правильной пирамиды: поворот на угол переводит её основание и все боковые грани в себя. Вместе с пирамидой он переводит вписанную сферу в сферу, также касающуюся всех граней. Центр вписанной сферы определяется как единственная внутренняя точка, равноудалённая от всех граней: он лежит на внутренних биссекторных плоскостях двугранных углов, их пересечение единственно. Поэтому образ центра при указанном повороте совпадает с самим центром. Неподвижные точки ненулевого поворота вокруг лежат только на оси. Следовательно, . Доказано.
Ответ
Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды.
