ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев, номер 853

№

Доказательство неравенства (среднее арифметическое и среднее квадратичное)

Докажите, что при $a\geqslant0$ и $b\geqslant0$ верно неравенство

$\dfrac{a+b}2\leqslant\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}$ .

Решение

Обе части неравенства неотрицательны ( и квадратный корень неотрицателен), поэтому неравенство равносильно неравенству для их квадратов:

Составим разность правой и левой частей:

Значит, , а так как обе части исходного неравенства неотрицательны, извлекая квадратный корень, получаем

что и требовалось доказать (равенство — при ).

Ответ

Неравенство доказано сравнением квадратов обеих частей: разность равна .

Помогло?

Номер 853