ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 594

№

Свойства сложения и умножения комплексных чисел

Доказать равенство: 1) $z_1+z_2=z_2+z_1$ ; 2) $z_1z_2=z_2z_1$ ; 3) $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$ ; 4) $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ ; 5) $z+0=z$ ; 6) $z\cdot1=z$ .

Решение

Пусть для , где все и действительны. Пользуемся определениями суммы и произведения комплексных чисел из § и равенством .

По правилу сложения . Переместительное свойство сложения действительных чисел даёт и . Поэтому сумма равна .
По правилу умножения . Для произведения в обратном порядке . Переместительное свойство действительного умножения и сложения показывает, что соответствующие коэффициенты равны. Следовательно, .
Сначала . После умножения на действительная часть равна . Мнимая часть равна .

С другой стороны, . Поэтому действительная часть равна . Мнимая часть равна . Соответствующие действительные и мнимые части двух выражений состоят из одних и тех же слагаемых; порядок сложения их не меняет. Значит, .

По правилу сложения . А . По сочетательному свойству сложения действительных чисел соответствующие скобки равны. Следовательно, комплексные суммы равны.
Запишем нуль как . Тогда .
Запишем единицу как . По правилу умножения .

Все шесть равенств доказаны через определения операций и свойства действительных чисел.

Ответ

;
;
;
;
;
.

Помогло?

Номер 594