№ Площадь фигуры между графиками
Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой y=6x−x2 и прямой y=x+4; 2) параболой y=4−x2 и прямой y=x+2.
Решение
- Из получаем , точки пересечения имеют абсциссы и . Проверка при : парабола выше прямой.
Для построения отметим названные точки пересечения и нули функций.
На отрезке верхняя граница , нижняя ; поэтому площадь этой части равна . По линейности интеграла и таблице первообразных (правильность проверяется дифференцированием) получаем . Подставляем границы отдельно: , . Поэтому .
Части не перекрываются, поэтому . Вывод: искомая площадь равна .
- Из получаем : границы . При парабола выше прямой.
Для построения отметим названные точки пересечения и нули функций.
На отрезке верхняя граница , нижняя ; поэтому площадь этой части равна . По линейности интеграла и таблице первообразных (правильность проверяется дифференцированием) получаем . Подставляем границы отдельно: , . Поэтому .
Части не перекрываются, поэтому . Вывод: искомая площадь равна .
