№ Обратные корни уравнения с коэффициентами
Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратны корням уравнения ax2+bx+c=0.
Решение
Чтобы исходное уравнение было квадратным, требуется . Пусть его корни — . Для существования обратных корней нужно также : по теореме Виета , и при оба корня ненулевые.
По теореме Виета , . Для , имеем .
Также . Поэтому по обратной теореме Виета новое уравнение есть . Умножив обе части на ненулевое , получаем . Его коэффициент при ненулевой, следовательно, оно действительно квадратное.
