Гл. ПС Первообразная функции
Показать, что функция F(x)=e2x+x3−cosx является первообразной для функции f(x)=2e2x+3x2+sinx на всей числовой прямой.
Решение
По определению (§ ), функция — первообразная для на промежутке, если для всех из этого промежутка. Найдём производную по правилам дифференцирования (производная суммы равна сумме производных):
(производная сложной функции: , здесь , );
;
.
Тогда
Функции
и
определены и дифференцируемы при всех действительных
, поэтому равенство
верно на всей числовой прямой.
💡 Почему так
Чтобы проверить первообразную, достаточно продифференцировать её и сравнить с .
Ответ
для всех , значит, — первообразная для на всей числовой прямой.
