ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 1033

№

Первообразная, график которой проходит через точку

Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$ :

$f(x) = \cos x$ , $M(0; -2)$ ;
$f(x) = \sin x$ , $M(-\pi; 0)$ ;
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $M(4; 5)$ ;
$f(x) = e^{x}$ , $M(0; 2)$ ;
$f(x) = 3x^{2} + 1$ , $M(1; -2)$ ;
$f(x) = 2 - 2x$ , $M(2; 3)$ .

Решение

Общий вид первообразных функции — это , где — какая-нибудь одна первообразная (§ –). Чтобы выбрать нужную, подставляем координаты точки в и находим .

Первообразная для — это (так как ), поэтому . График проходит через , значит, :

Получаем .
Для первообразная (так как ), поэтому . Условие :

Косинус чётный, , значит, , , .
Получаем .
. По правилу для степени при получаем . Проверка: . Итак, . Условие :

Получаем .
Первообразная для — сама , поэтому . Условие :

Получаем .
Первообразная суммы — сумма первообразных: для это , для это . Значит, . Условие :

Получаем .
Для первообразная , для первообразная . Значит, . Условие :

Получаем .

💡 Почему так

Первообразная определена с точностью до постоянной ; точка на графике фиксирует .

Ответ

Помогло?

Номер 1033