ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 470

№

Доказательство тождеств

Доказать тождество:

$(1 - \cos 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) = \sin^2 2\alpha$ ;
$\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = -\frac{1}{1 + \sin\alpha}$ ;
$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ ;
$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 + 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$ ;
$\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$ ;
$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$ ;
$\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = 1$ ;
$\operatorname{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \operatorname{tg}^2\alpha\sin^2\alpha$ .

Решение

Применяем формулу разности квадратов и основное тождество (для угла оно тоже верно):
В знаменателе . В числителе вынесем : . Тогда
Разность квадратов: .
Раскрываем квадрат разности :
Приводим к общему знаменателю :
Две дроби равны, если равны произведения крайних и средних членов (основное свойство пропорции): . Левая часть равна , правая . Значит, при дроби равны.
По формулам и левая часть равна .
Так как , получаем .

Во всех пунктах левая часть сведена к правой, тождества доказаны.

Помогло?

Номер 470