ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 1024

№

Наибольшая площадь трапеции, отсекаемой касательной

Фигура ограничена линиями $y=x^{2}+1$ , $y=0$ , $x=0$ , $x=1$ . Найти точку $(x_{0};y_{0})$ графика функции $y=x^{2}+1$ , через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.

Решение

Точка касания должна лежать на дуге графика над отрезком , то есть . Производная , поэтому касательная в этой точке имеет уравнение

Она лежит под параболой, поэтому трапеция, отсекаемая от фигуры (между осью

, прямыми

и касательной), расположена внутри фигуры. Её основания — значения касательной в

(оба неотрицательны при

), высота равна . Площадь трапеции:

Это квадратный трёхчлен с отрицательным старшим коэффициентом, его наибольшее значение достигается в вершине параболы:

(то же получаем из условия

). Значение

лежит в

. Тогда

; наибольшая площадь равна

💡 Почему так

Касательная при имеет уравнение .

Ответ

Помогло?

Номер 1024