ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 1023

№

Площадь фигуры, ограниченной кривой и касательными

Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

параболой $y=x^{2}+10$ и касательными к этой параболе, проведёнными из точки $(0;1)$ ;
гиперболой $y=\frac{1}{x}$ , прямой $x=1$ и касательной к кривой $y=\frac{1}{x}$ в точке с абсциссой $x=2$ .

Решение

Уравнение касательной к графику в точке (§ , геометрический смысл производной): .

Для имеем . Касательная в точке : . Она проходит через , поэтому

При : . При : .

Фигура симметрична относительно оси (парабола чётная, касательные симметричны). Сверху её ограничивает парабола, снизу — на касательная (а на касательная ). Значит,

Для имеем ; при : , . Касательная:

Гипербола при лежит выше своей касательной (график выпуклый вниз), они касаются в точке . Фигуру ограничивают слева прямая , сверху гипербола, снизу касательная; справа фигура сужается до точки касания .

💡 Почему так

В пункте условие «касательная проходит через точку » даёт уравнение для абсциссы точки касания — получаются две касательные, симметричные относительно оси .

Ответ

;
.

Помогло?

Номер 1023