ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 1014

№

Площадь фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью Ox

Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

параболой $y=(x+1)^{2}$ , прямой $y=1-x$ и осью $Ox$ ;
параболой $y=4-x^{2}$ , прямой $y=x+2$ и осью $Ox$ ;
параболой $y=4x-x^{2}$ , прямой $y=4-x$ и осью $Ox$ ;
параболой $y=3x^{2}$ , прямой $y=1{,}5x+4{,}5$ и осью $Ox$ .

Решение

Фигура лежит над осью . Находим абсциссы точек пересечения линий, разбиваем фигуру на криволинейные трапеции и складываем их площади: .

Парабола касается оси в точке ; прямая пересекает ось в точке . Парабола и прямая пересекаются при , то есть , откуда (при этом ) — именно эта точка ограничивает фигуру. Сверху фигура на ограничена параболой, на — прямой.

Парабола пересекает ось в точках ; прямая — в точке . Пересечение параболы и прямой: , , или (точка ). Сверху фигура на ограничена прямой, на — параболой.

Первое слагаемое: . Второе: .

Парабола пересекает ось при и ; прямая — при . Пересечение: , , или ; точка . Сверху фигура на ограничена параболой, на — прямой.

Прямая пересекает ось в точке . Пересечение с параболой: , то есть , откуда или . Фигуру, примыкающую к оси , ограничивают: прямая на и парабола на (вершина параболы лежит на оси).

Первое: . Второе: .

💡 Почему так

Если верхняя граница фигуры меняется (то парабола, то прямая), фигуру делят вертикальной прямой, проходящей через точку пересечения линий, и площади частей складывают.

Ответ

;
;
;

Помогло?

Номер 1014