ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 1011

№

Вычисление определённого интеграла с тригонометрическими функциями

Вычислить интеграл:

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^{2} x\,dx$ ;
$\int_{0}^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx$ ;
$\int_{0}^{\pi/4} (\cos^{2} x - \sin^{2} x)\,dx$ ;
$\int_{0}^{\pi} (\sin^{4} x + \cos^{4} x)\,dx$ ;
$\int_{0}^{3} x^{2}\sqrt{x+1}\,dx$ ;
$\int_{3}^{4} \frac{x^{2}-4x+5}{x-2}\,dx$ .

Решение

Понижаем степень по формуле . Первообразная .
По формуле синуса двойного угла . Первообразная .
По формуле косинуса двойного угла . Первообразная .
(так как ).
Дальше , поэтому

Первообразная .
Выразим через (как в задаче этого параграфа): (проверка: ). Тогда

Первообразная .
При имеем , , , , значит .
При имеем , значит .
Делим числитель на : , поэтому

Первообразная .

💡 Почему так

Прежде чем искать первообразную, подынтегральную функцию приводим к сумме табличных слагаемых: понижаем степень, применяем формулы двойного угла, выделяем целую часть дроби.

Ответ

;
;
;
;
;
.

Помогло?

Номер 1011