Задание
Выберите верное утверждение.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая
а) пересекает плоскость;
б) лежит в плоскости;
в) параллельна плоскости.
По аксиоме стереометрии: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Значит, верно утверждение б).
б) лежит в плоскости
Точки M и K принадлежат рёбрам BB₁ и AB куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка T лежит на прямой MK. Какой плоскости принадлежит точка T?
Точка M лежит на ребре BB₁, значит, M лежит в плоскости грани ABB₁A₁.
Точка K лежит на ребре AB, значит, K тоже лежит в плоскости ABB₁.
Две точки прямой MK лежат в плоскости ABB₁, поэтому по аксиоме вся прямая MK лежит в этой плоскости.
Точка T лежит на прямой MK, значит, T принадлежит плоскости ABB₁ (плоскости AA₁B₁).
Точка T принадлежит плоскости ABB₁ (плоскости грани AA₁B₁B).
Точки M и N являются серединами рёбер AB и BD пирамиды DABC. По какой прямой пересекаются плоскости BDM и BCN? Ответ обоснуйте.
Точка B лежит в обеих плоскостях: она есть и в BDM, и в BCN.
Точка N лежит на ребре BD, а BD лежит в плоскости BDM, поэтому N принадлежит плоскости BDM. Кроме того, N принадлежит плоскости BCN по построению.
Итак, у плоскостей есть две общие точки B и N. Тогда по аксиоме они пересекаются по прямой BN.
Точка N лежит на BD, значит, прямая BN совпадает с прямой BD.
Плоскости различны: плоскость BDM — это плоскость ABD, а точка C ей не принадлежит.
Плоскости BDM и BCN пересекаются по прямой BD.
Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рис.), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с меньшим числом вершин? Постройте сечение тетраэдра через три заданные точки и ответьте на вопрос.
Построение: точки A, B, C лежат на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины R (A на PR, B на SR, C на QR). Каждые две из них лежат в одной грани, поэтому соединяем их отрезками: AB, BC, CA. Треугольник ABC — искомое сечение.
Плоскость сечения отсекает от тетраэдра маленький тетраэдр RABC. У него
Второй многогранник имеет
