Вариант 1. Доказать: 1) D₁E₁ ⊥ (EFF₁E₁) 2) H₁H ⊥… (геометрия)

№ Перпендикулярность прямой и плоскости в параллелепипеде

Вариант 1. Доказать:

$D_{1} E_{1} ⊥ (E F F_{1} E_{1})$
$H_{1} H ⊥ (D E F H)$
$H F ⊥ (D H H_{1} D_{1})$
(Рис. 1: параллелепипед $D E F H D_{1} E_{1} F_{1} H_{1}$ .)

Решение

Считаем, что фигура — прямоугольный параллелепипед (все грани — прямоугольники, как на рисунке).

) Прямая лежит в грани и в грани .

, так как — прямоугольник.
, так как — прямоугольник.

Прямые и лежат в плоскости и пересекаются в точке . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости .

) Ребро :

, так как — прямоугольник.
, так как — прямоугольник.

Прямые и лежат в плоскости и пересекаются в точке . Значит, .

) Прямая :

, так как — прямоугольник.
, так как — прямоугольник.

Прямые и лежат в плоскости и пересекаются в точке . Значит, .

💡 Почему так

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Ответ

доказано: и
доказано: и
доказано: и

№ Теорема о трёх перпендикулярах в параллелепипеде

Доказать:

$A_{1} B ⊥ B C$
$B_{1} D_{1} ⊥ D_{1} D$
(Рис. 2: параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .)

Решение

Считаем, что фигура — прямоугольный параллелепипед.

) Применим теорему о трёх перпендикулярах к плоскости основания :

перпендикуляр: , так как ;
наклонная: ;
проекция наклонной: ;
прямая в плоскости основания, проходящая через основание наклонной: .

Так как (в основании — прямоугольник), то по теореме о трёх перпендикулярах .

) Ребро перпендикулярно плоскости , потому что и (боковые грани — прямоугольники). Прямая лежит в этой плоскости, поэтому (прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости).

💡 Почему так

Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости, проведённая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной.

Ответ

доказано: перпендикуляр , наклонная , проекция , прямая ; , значит
доказано: , лежит в этой плоскости, значит

Помогло?

Вариант 1. Доказать: 1) D₁E₁ ⊥ (EFF₁E₁) 2) H₁H ⊥ (DEFH) 3)…