В треугольнике ABC ∠ ABC = 53°, ∠ BAC = 66°. Точка…

Геометрия9 классРешено по фото 13 октября 2026 в 08:45

№ Угол в треугольнике с двумя окружностями, касающимися BC и AM

В треугольнике $A B C$ $∠ A B C = 5 3^{\circ}$ , $∠ B A C = 6 6^{\circ}$ . Точка $M$ является серединой стороны $B C$ . Окружность, касающаяся $B C$ в точке $B$ и отрезка $A M$ , пересекает сторону $A B$ в точке $P$ . Окружность, касающаяся $B C$ в точке $C$ и отрезка $A M$ , пересекает сторону $A C$ в точке $Q$ . Найдите угол $A P Q$ . Ответ выразите в градусах.

Решение

Угол : .
Пусть первая окружность касается в точке . Отрезки касательных из точки равны: .
Вторая окружность касается в точке , и . Так как — середина , то , значит , то есть обе окружности касаются в одной точке .
Квадрат касательной из точки равен произведению секущей на её внешнюю часть. Для первой окружности: , для второй: .
Отсюда , то есть .
Треугольники и имеют общий угол и пропорциональные прилежащие стороны, значит они подобны: .
Следовательно, .

💡 Почему так

Касательные из точки к окружностям равны , поэтому точка касания с у обеих окружностей общая. Из равенства получается подобие треугольников и .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото