В классе учится 25 человек, из них 16 человек посещают кружок по английскому языку, а 13 — кружок по немецкому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.
- Найдётся 4 человека из этого класса, которые посещают оба кружка.
- Если ученик из этого класса ходит на кружок по английскому языку, то он обязательно ходит на кружок по немецкому языку.
- Найдётся хотя бы три человека из этого класса, которые посещают оба кружка.
- Каждый ученик из этого класса посещает и кружок по английскому языку, и кружок по немецкому языку.
Пусть
Наибольшее возможное
Проверим утверждения.
-
Оба кружка посещают не менее
человек, поэтому найдётся человека, посещающих оба кружка. Верно. -
Только английский может посещать, например,
человека (при ), а может и больше, если меньше. Тогда в английском кружке есть те, кто не ходит на немецкий. Не следует. -
Так как
, то найдётся хотя бы три человека. Верно. -
Если бы все ходили в оба кружка, в английском было бы
человек, а их . Неверно.
Круги Эйлера для случая
Если сумма
Пять жильцов многоквартирного дома — Андрей, Борис, Виктор, Денис и Егор — имеют различный возраст. При этом известно, что возраст Андрея больше, чем сумма возрастов Бориса и Виктора, Виктор старше Дениса, но младше Егора. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
- Андрей самый старший из жильцов.
- Егор старше Бориса.
- Андрей старше Дениса.
- Борис старше Егора.
Обозначим возраст первой буквой имени. Из условия:
-
Так как
и , то . Тогда и . Нужно сравнить и . Например, , , , , удовлетворяют условиям, но Егор старше Андрея. Значит, утверждение не следует. -
Возраст Бориса может быть любым: например,
, , , , . Тогда Борис старше Егора, но возможен и обратный случай. Значит, утверждение не следует. -
, значит . Следует. -
Пример из пункта
показывает, что это возможно, но при , , , Борис младше Егора. Значит, утверждение не следует.
Следует только то, что верно при любых возрастах, удовлетворяющих условию. Для остальных утверждений достаточно одного примера, где они не выполняются.
