Точки A и B принадлежат рёбрам MN и MM₁ куба… (геометрия)

№ Плоскость через три точки куба

Точки $A$ и $B$ принадлежат рёбрам $M N$ и $M M_{1}$ куба $K L M N K_{1} L_{1} M_{1} N_{1}$ . Через какие из указанных точек можно провести единственную плоскость?
а) $N, A, M$ ;
б) $B, M, M_{1}$ ;
в) $N, A, L$ .

Решение

Единственную плоскость определяют три точки, не лежащие на одной прямой.

а) : точка лежит на ребре , значит все три точки лежат на одной прямой . Плоскостей бесконечно много.

б) : точка лежит на ребре , все три точки лежат на одной прямой . Плоскостей бесконечно много.

в) : точки и лежат на прямой , а точка ей не принадлежит. Три точки не лежат на одной прямой, поэтому плоскость единственная.

💡 Почему так

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если три точки лежат на одной прямой, плоскостей бесконечно много.

Ответ

✓ dzmen.ru

в)

№ Периметр диагонального сечения призмы

Боковое ребро правильной четырёхугольной призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равно 10 см. Сторона основания призмы $62$ см. Вычислите периметр диагонального сечения призмы:
а) 50 см;
б) 100 см;
в) 25 см;
г) 44 см.

Решение

Основание — квадрат со стороной см. Его диагональ:

Диагональное сечение

— прямоугольник со сторонами

см и

см. Его периметр:

💡 Почему так

Диагональное сечение прямой призмы — прямоугольник, одна сторона которого — диагональ основания, другая — боковое ребро.

Ответ

✓ dzmen.ru

г) см

№ Площадь сечения правильной пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде $P A B C D$ проведено сечение через середины $M$ , $N$ и $K$ рёбер $D A$ , $B A$ и $P A$ соответственно. Найдите площадь сечения, учитывая, что все рёбра пирамиды равны 12 см:
а) $93$ см²;
б) 18 см²;
в) 36 см²;
г) $183$ см².

Решение

Сечение — треугольник . Его стороны — средние линии треугольников:

— средняя линия : (диагональ квадрата со стороной ), поэтому см.
— средняя линия : см.
— средняя линия : см.

Проверим: , значит, прямоугольный с прямым углом при . Площадь:

💡 Почему так

Средняя линия треугольника равна половине параллельной ему стороны. Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный.

Ответ

✓ dzmen.ru

б) см²

№ Площадь диагонального сечения параллелепипеда

Основание прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ — квадрат. Найдите площадь диагонального сечения параллелепипеда, учитывая, что длина ломаной $B C C_{1} D_{1} A_{1} B$ равна 36 см и $A B : C C_{1} = 3 : 4$ :
а) $482$ см²;
б) $242$ см²;
в) 36 см²;
г) 120 см².

Решение

Пусть , . Основание — квадрат, поэтому .

Из прямоугольного треугольника : .

Длина ломаной:

Тогда

см,

см.

Диагональ основания: см.

Диагональное сечение — прямоугольник:

💡 Почему так

Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник со сторонами, равными диагонали основания и боковому ребру.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) см²

Помогло?

Точки A и B принадлежат рёбрам MN и MM₁ куба KLMNK₁L₁M₁N₁. Через…