Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно 2, одно из боковых рёбер составляет со смежными сторонами основания углы 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Пусть боковое ребро
- Грани
и — параллелограммы со сторонами и и углом :
- В треугольнике
имеем и , значит, он равносторонний и . Тогда — правильный тетраэдр с ребром . - В правильном тетраэдре ребро
перпендикулярно противоположному ребру . Так как , то , и грань — прямоугольник:
- Площадь боковой поверхности:
Ребро
Определите стороны основания прямого параллелепипеда, объем которого равен 3 360 см³, полная поверхность равна 1 416 см², боковая поверхность — 1 080 см² и бо́льшая диагональ параллелепипеда — 29 см.
Пусть стороны основания
- Площадь основания:
- Высота:
- Боковая поверхность
, откуда
- Большая диагональ основания
:
и , поэтому
- Площадь основания:
. - Делим одно на другое:
- Тогда
, , поэтому и — корни уравнения
то естьи .
Проверка:
Площадь основания находим из разности полной и боковой поверхностей, высоту — из объёма, а стороны — из суммы
В сечении прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием плоскостью получается ромб с острым углом 60°. Под каким углом пересекает плоскость сечения боковые ребра параллелепипеда?
Пусть сторона основания
- Диагонали ромба с острым углом
: короткая равна , длинная равна . - Сечение — ромб
, его проекция на основание — квадрат со стороной . Проекции диагоналей ромба — диагонали квадрата, обе равны . - Диагональ ромба, параллельная основанию, проецируется без изменения, а наклонная сокращается в
раз ( — угол между плоскостью сечения и основанием). Так как проекции равны, параллельна основанию короткая диагональ: , и
- Боковые рёбра перпендикулярны основанию, поэтому угол
плоскости с рёбрами равен :
Угол между прямой и плоскостью дополняет до
В параллелепипеде все грани — равные ромбы с острым углом 60° и стороной a. Найдите: а) диагонали параллелепипеда; б) его высоту; в) угол наклона бокового ребра к плоскости основания; г) угол между соседними гранями.
Из вершины
а) Диагонали:
Одна диагональ
б) Высота параллелепипеда равна высоте правильного тетраэдра
в) Угол
г) Угол между соседними гранями при ребре
Двугранные углы параллелепипеда при рёбрах каждой вершины равны
а)
б)
в)
г)
В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая это основание под углом α и три боковых ребра призмы. Определите площадь полученного сечения и его острый угол, если сторона основания призмы равна b.
Пусть
Площадь. Проекция сечения на основание — пятиугольник
Острый угол. Введём координаты:
Пусть
Углы при
Площадь проекции многоугольника на плоскость равна площади самого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями.
