Не решено: задание
Точки A и B принадлежат рёбрам MN и MM₁ куба KLMNK₁L₁M₁N₁. Через какие указанные точки можно провести единственную плоскость? Ответ обоснуйте.
- N, A, M 2) B, M, M₁ 3) N, A, L
Единственная плоскость проходит через три точки, не лежащие на одной прямой (аксиома стереометрии).
-
Точка A лежит на ребре MN, значит N, A, M лежат на одной прямой MN. Через них проходит бесконечно много плоскостей.
-
Точка B лежит на ребре MM₁, значит B, M, M₁ лежат на одной прямой MM₁. Плоскостей бесконечно много.
-
Точки N и A лежат на прямой MN, а точка L ей не принадлежит (L — вершина куба, не лежащая на ребре MN). Значит N, A, L не лежат на одной прямой, и через них проходит единственная плоскость.
Три точки задают единственную плоскость, только если они не лежат на одной прямой.
- N, A, L
Постройте точку пересечения прямой MK и плоскости ABC.
Точка K лежит на ребре AD, точка M — на ребре DB, поэтому прямая MK лежит в плоскости ABD.
- Плоскости ABD и ABC различны и имеют общую прямую AB.
- Проведём прямую MK и продолжим её до пересечения с прямой AB. Получим точку P = MK ∩ AB.
- Точка P лежит на AB, значит принадлежит плоскости ABC, и лежит на MK.
Следовательно, P — искомая точка пересечения прямой MK с плоскостью ABC.
Прямая в плоскости грани пересекает плоскость основания в точке на линии пересечения этих плоскостей.
P = MK ∩ AB — точка пересечения прямой MK с плоскостью ABC.
Плоскость α проходит через вершины A и D параллелограмма ABCD и точку O пересечения его диагоналей. Докажите, что прямая BC лежит в плоскости α.
- Точки A и O лежат в плоскости α. Диагональ AC проходит через A и O, значит вся прямая AC лежит в α (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в ней). Поэтому точка C принадлежит α.
- Точки D и O лежат в α. Диагональ BD проходит через D и O, значит прямая BD лежит в α. Поэтому точка B принадлежит α.
- Точки B и C лежат в α, значит прямая BC лежит в плоскости α.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
Прямая BC лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.
Постройте сечение куба плоскостью, содержащей точки M, N и L, и опишите шаги построения.
Точки по рисунку: M лежит на ребре AA₁, N — на ребре B₁C₁, L — на ребре AD.
Шаги построения:
- Соединяем M и L — обе точки лежат в грани AA₁D₁D. Получаем сторону ML.
- Продолжаем ML до пересечения с прямой A₁D₁ в точке P. Точки P и N лежат в плоскости верхней грани, проводим PN. Она пересекает ребро A₁B₁ в точке R.
- Соединяем M и R (грань AA₁B₁B). Получаем сторону MR.
- Продолжаем RM до пересечения с прямой AB в точке U. Прямая UL лежит в плоскости основания и пересекает ребро DC в точке S. Получаем сторону LS.
- Параллельные грани плоскость пересекает по параллельным отрезкам. Через N проводим NT
ML до пересечения с ребром CC₁ в точке T. Тогда NT — сторона сечения в грани BCC₁B₁. - Соединяем S и T (грань DCC₁D₁). Получаем сторону ST.
Шестиугольник MLSTNR — искомое сечение.
Сторона сечения в каждой грани — отрезок, соединяющий две точки плоскости сечения, лежащие в этой грани. Стороны сечения в параллельных гранях параллельны.
Сечение — шестиугольник MLSTNR, где R ∈ A₁B₁, S ∈ DC, T ∈ CC₁.
