Точки A и B принадлежат рёбрам MN и MM₁ куба… (геометрия)

№ Единственная плоскость через три точки

⚠️

Не решено задание (про сечение тетраэдра через точки K, E, F, F ∈ (ABC)): рисунок обрезан и виден слишком мелко, положение точек и рёбер не разобрать. Сфотографируйте это задание ближе и крупнее, отдельным кадром.

Точки A и B принадлежат рёбрам MN и MM₁ куба KLMNK₁L₁M₁N₁. Через какие указанные точки можно провести единственную плоскость? Ответ обоснуйте.

N, A, M 2) B, M, M₁ 3) N, A, L

Решение

Единственную плоскость задают три точки, не лежащие на одной прямой (аксиома ).

, , : лежит на ребре , значит все три точки лежат на прямой . Плоскостей бесконечно много.
, , : лежит на ребре , все три точки лежат на одной прямой. Плоскостей бесконечно много.
, , : точки и лежат на прямой , а на этой прямой не лежит. Три точки не лежат на одной прямой, поэтому плоскость единственная.

Ответ

✓ dzmen.ru

N, A, L

№ Точка пересечения прямой и плоскости

Постройте точку пересечения прямой MK и плоскости ABC.

Решение

Точка лежит на ребре , точка на ребре (по рисунку). Поэтому прямая лежит в плоскости .

Проводим прямую и прямую . Обе лежат в плоскости и не параллельны.
Продолжаем их до пересечения в точке : .
, а , значит . Также .

Поэтому — искомая точка.

💡 Почему так

Если прямая лежит в плоскости, где есть ещё одна прямая плоскости , то их общая точка и есть точка пересечения прямой с плоскостью.

Ответ

✓ dzmen.ru

Точка .

№ Прямая лежит в плоскости

Плоскость α проходит через вершины A и D параллелограмма ABCD и точку O пересечения его диагоналей. Докажите, что прямая BC лежит в плоскости α.

Решение

и , значит прямая лежит в . Точка лежит на диагонали , поэтому — это прямая . Следовательно, .
и , значит прямая лежит в . Это прямая , поэтому .
Точки и лежат в , значит и вся прямая лежит в (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в ней).

Что и требовалось доказать.

Ответ

✓ dzmen.ru

Прямая лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.

№ Сечение куба

Постройте сечение куба плоскостью, содержащей точки M, N и L, и опишите шаги построения.

Решение

По рисунку: лежит на ребре , на ребре , на ребре .

Шаги построения:

— след плоскости на передней грани . Продолжаем до пересечения с прямой в точке .
и лежат в плоскости верхней грани. Проводим ; она пересекает ребро в точке .
и лежат в грани . Проводим .
Линия пересечения секущей плоскости с плоскостью нижней грани проходит через параллельно (верхняя и нижняя грани параллельны). Она пересекает ребро в точке . Проводим .
лежит в грани . Проводим в этой грани параллельно до пересечения с ребром в точке .
и лежат в грани . Проводим .

Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Сечение строят по следам плоскости на гранях. Параллельные грани плоскость пересекает по параллельным прямым.

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Точки A и B принадлежат рёбрам MN и MM₁ куба KLMNK₁L₁M₁N₁. Через…